Высшая математика-5 / Высшая математика (спецглавы)-2

'Высшая математика (спецглавы)-2' изучается по учебному пособию:
'Математика 4. Основы теории вероятностей и математическая статистика'

1. контр. раб №3
2. контр. раб №4

Дисциплина 'Высшая математика-5' изучается по учебному пособию:
'Математика 4. Основы теории вероятностей и математическая статистика'

По дисциплине "Высшая математика-5" в течение семестра необходимо
выполнить следующие контрольные работы:

2 текстовые контрольные работы по заданиям в учебном пособии
Контрольная работа №1 состоит из 5 заданий по 10 вариантов в каждом.
Контрольная работа №2 состоит из 7 заданий по 10 вариантов в каждом.

Контрольная работа № 1

Контрольная работа № 1 содержит пять задач по темам 1, 2, 3 разделов настоящего пособия.
Номер варианта соответствует последней цифре номера зачетной книжки.

Задача 1. Тема: "Пространство элементарных событий"
Образуют ли данные события полную группу событий пространства эле-ментарных событий описанного эксперимента; если два, то являются ли рав-новозможными; если нет - являются ли несовместными?

Вариант 1

Эксперимент - бросание двух правильных монет; событие A - "выпало два герба", событие B - "выпало две решки".

Вариант 2

Эксперимент - бросание двух правильных монет; событие A - "выпало два герба", событие B - "выпало две решки"; событие C - "выпал один герб и одна решка".
Вариант 3

Эксперимент - бросание двух правильных монет; событие A - "герб на первой монете", событие B - "герб на второй монете".

Вариант 4

Эксперимент - бросание игрального кубика; событие A - "выпало одно или два очка", событие B - "выпало два или три очка"; событие C - "выпало три или четыре очка"; событие D - "четыре или пять очков"; событие E - "пять или шесть очков".

Вариант 5

Эксперимент - передача трех сообщений по каналу связи; событие A - "все три сообщения переданы без ошибок", событие B - "все три - с ошиб-ками"; событие C - "два с ошибками, одно без ошибок".

Вариант 6

Эксперимент - передача трех сообщений по каналу связи; событие A - "первое сообщение передано с ошибкой", событие B - "второе сообщение передано с ошибкой"; событие C - "третье сообщение передано с ошибкой"

Вариант 7

Эксперимент - извлечение наугад одной карты из колоды игральных карт; событие A - "извлечена карта червонной масти", событие B - "бубновой масти"; событие C - "трефовой масти"; событие D - "пиковой масти".

Вариант 8

Эксперимент - извлечение наугад двух карт из колоды игральных карт; событие A - "обе карты черной масти", событие B - "среди извлеченных карт есть дама"; событие C - "есть туз".

Вариант 9

Эксперимент - два выстрела по цели; событие A - "ни одного попада-ния"; событие B - "ровно одно попадание"; событие C - "ровно два попа-дания".

Вариант 10

Эксперимент - из букв слова "плюс" последовательно без возвращения выбираются две буквы; событие A - "выбрана пара согласных", событие B - "выбрана пара гласных"; событие C - "выбрана одна согласная и одна глас-ная".


Задача 2. Тема: "Свойства вероятностей"

Вариант 1

В фирме 550 работников, 380 из них имеют высшее образование, 412 - среднее специальное образование, у 357 - высшее и среднее специальное образование. Чему равна вероятность того, случайно выбранный работник не имеет ни высшего, ни среднего специального образования?


Вариант 2

Вероятность того, что потребитель увидит рекламу определенного про-дукта по одному из трех телевизионных каналов, равна 0.05. Предполагается, что эти события независимы в совокупности. Чему равна вероятность того, что потребитель увидит рекламу а) по всем трем каналам; б) хотя бы по одному из этих каналов?

Вариант 3

Модельер, разрабатывающий новую коллекцию одежды к весеннему се-зону, создает модели в белой, черной и красной цветовой гамме. Вероятность того, что белый цвет будет в моде весной, модельер оценивает в 0.3, черный - в 0.2, а вероятность того, что будет моден красный цвет - в 0.15. Предполагая, что цвета выбираются независимо друг от друга, оцените вероятность того, что цветовое решение коллекции будет удачным хотя бы по одному из выбранных цветов.

Вариант 4

Компания, занимающаяся строительством терминалов для аэропортов, надеется получить контракт в стране A с вероятностью 0.4, вероятность за-ключить контракт в стране B равна 0.3. Вероятность того, что контракты будут заключены и в стране A, и в стране B, равна 0.12. Чему равна вероятность того, что компания получит контракт хотя бы в одной стране?

Вариант 5

Город имеет три независимых резервных источника электроэнергии для использования в случае аварийного отключения постоянного источника элек-троэнергии. Вероятность того, что любой из трех резервных источников будет доступен при отключении постоянного источника, составляет 0.8. Какова ве-роятность того, что не произойдет аварийного отключения электроэнергии, если выйдет из строя постоянный источник?

Вариант 6

Покупатель может приобрести акции двух компаний A и B. Надежность компании A оценивается экспертами с вероятностью 0.9, надежность компании B - 0.8. Чему равна вероятность того, что а) обе компании не станут банкротами; б) наступит хотя бы одно банкротство?

Вариант 7

Эксперты торговой компании полагают, что покупатели, обладающие пластиковой карточкой этой компании, дающей право на скидку, обратятся за покупкой товара в ее магазины с вероятностью 0.9. Если это произойдет, обла-датель пластиковой карточки приобретет необходимый ему товар с вероятно-стью 0.8. Какова вероятность того, что обладатель пластиковой карточки тор-говой компании приобретет необходимый ему товар в ее магазинах?

Вариант 8

В городе три коммерческих банка, оценка надежности которых - 0.95, 0.90 и 0.85 соответственно. В связи с определением хозяйственных перспектив развития города администрацию интересуют ответы на следующие вопросы: а) какова вероятность того, что в течение года обанкротятся все три банка; б) что обанкротится хотя бы один банк?

Вариант 9

Инвестор предполагает, что в следующем периоде вероятность роста цены акций компании A будет составлять 0.7, а компании B - 0.4. Вероятность того, что цены поднимутся на те и другие акции, равна 0.28. Вычислите вероятность роста акций хотя бы одной компании.

Вариант 10

Вероятность того, что покупатель, собирающийся приобрести компьютер и пакет прикладных программ, приобретет только компьютер, равна 0.15, только пакет программ - 0.1. Вероятность того, что будет куплен и компью-тер, и пакет программ, равна 0.05. Чему равна вероятность того, что будет сделана хотя бы одна покупка?

Задача 3. Тема: "Формула полной вероятности и формула Байеса"

Вариант 1

Директор компании имеет два списка с фамилиями претендентов на ра-боту. В первом списке - фамилии шести женщин и четырех мужчин. Во втором списке оказалось четыре женщины и семь мужчин. Фамилия одного из претендентов случайно переносится из первого списка во второй. Затем фами-лия одного из претендентов случайно выбирается из второго списка. Оказалось, что эта фамилия принадлежит мужчине. Какова вероятность того, что из первого списка была перенесена фамилия женщины?

Вариант 2

Агент по недвижимости пытается продать участок земли под застройку. Он полагает, что участок будет продан в течение полугода с вероятностью 0.9, если экономическая ситуация в регионе не будет ухудшаться. Если же эконо-мическая ситуация будет ухудшаться, то вероятность продать участок составит 0.5. Экономист, консультирующий агента полагает, что с вероятностью, равной 0.7, экономическая ситуация в регионе в течение ближайшего полугода будет ухудшаться. Чему равна вероятность того, что участок будет продан в течение полугода?

Вариант 3

Среди студентов университета 30 % первокурсников, 35 % студентов учатся на втором курсе, остальные - старшекурсники. По данным деканатов известно, что на первом курсе 20 % студентов сдали сессию только на отличные оценки, на втором - 30 %, среди старшекурсников 40 % отличников. Наудачу вызванный студент оказался отличником. Чему равна вероятность того, что он - старшекурсник?

Вариант 4

Нефтеразведочная экспедиция проводит исследования для определения вероятности наличия нефти на месте предполагаемого бурения скважины. Исходя из результатов предыдущих исследований, нефтеразведчики считают, что вероятность наличия нефти на проверяемом участке равна 0.4. На завер-шающем этапе разведки проводится сейсмический тест, который имеет опре-деленную степень надежности: если на проверяемом участке есть нефть, то тест укажет на ее наличие в 85 % случаев; если нефти нет, то в 10 % случаев тест может ошибочно указать ее наличие. Сейсмический тест указал на присутствие нефти. Чему равна вероятность того, что запасы нефти на данном участке существуют в действительности?

Вариант 5

Экспортно-импортная фирма собирается заключить контракт на поставку оборудования в одну из развивающихся стран. Если основной конкурент фирмы не станет одновременно претендовать на заключение контракта, то вероятность получения контракта оценивается в 0.45, в противном случае - в 0.25. По оценкам экспертов компании вероятность того, что конкурент выдвинет свои предложения по заключению контракта, равна 0.4. Чему равна вероятность заключения контракта?

Вариант 6

Экономист-аналитик условно подразделяет экономическую ситуацию в стране на "хорошую", "посредственную" и "плохую" и оценивает их вероят-ности для данного момента времени в 0.15, 0.7 и 0.15 соответственно. Некото-рый индекс экономического состояния возрастает с вероятностью 0.6, когда ситуация "хорошая"; с вероятностью 0.3, когда ситуация "посредственная", и с вероятностью 0.1, когда ситуация "плохая". Пусть в настоящий момент индекс экономического состояния возрос. Чему равна вероятность того, что эко-номическая ситуация "хорошая"?

Вариант 7

При слиянии акционерного капитала двух фирм аналитики фирмы, полу-чающей контрольный пакет акций, полагают, что сделка принесет успех с ве-роятностью 0.65, если председатель совета директоров поглощаемой фирмы уйдет в отставку; если он откажется, что вероятность успеха будет равна 0.3. Предполагается, что вероятность ухода в отставку председателя составляет 0.7. Чему равна вероятность успеха сделки?

Вариант 8

На химическом заводе установлена система аварийной сигнализации. Когда возникает аварийная ситуация, звуковой сигнал срабатывает с вероятно-стью 0.95. Звуковой сигнал может сработать случайно и без аварийной ситуации с вероятностью 0.02. Вероятность аварийной ситуации равна 0.004. Пред-положим, что звуковой сигнал сработал. Чему равна вероятность реальной аварийной ситуации?

Вариант 9

Вероятность того, что клиент банка не вернет заем в период экономиче-ского роста, равна 0.04, а в период экономического кризиса - 0.13. Предпо-ложим, вероятность, что начнется период экономического роста, равна 0.65. Чему равна вероятность того, что случайно выбранный клиент банка не вернет полученный кредит?

Вариант 10

Исследованиями психологов установлено, что мужчины и женщины по-разному реагируют на некоторые жизненные обстоятельства. Результаты ис-следований показали, что 70 % женщин позитивно реагируют на изучаемый круг ситуаций, в то время как 40 % мужчин реагируют на них негативно. Свое отношение к предполагаемым ситуациям отразили в анкете 15 женщин и 5 мужчин. Случайно извлеченная анкета содержит негативную реакцию. Чему равна вероятность того, что ее заполнял мужчина?
Задача 4. Тема: "Биномиальное распределение"
Запишите таблицу для данного закона распределения случайной величины X, постройте многоугольник распределения. Найдите числовые характеристики распределения. Запишите функцию распределения и постройте ее график. Ответьте на вопрос о вероятности описанного события.

Вариант 1

В городе шесть коммерческих банков. У каждого риск банкротства в те-чение года составляет 10 %. Чему равна вероятность того, что в течение года обанкротится не более одного банка? Случайная величина X - количество обанкротившихся банков.

Вариант 2

Нефтеразведывательная компания получила финансирования для прове-дения шести нефтеразведок. Вероятность успешной нефтеразведки 0.05. Пред-положим, что нефтеразведку осуществляют независимые друг от друга разве-дывательные партии. Чему равна вероятность того, что не менее двух нефте-разведок принесут успех? Случайная величина X - количество успешных нефтеразведок.

Вариант 3

Хорошим считается руководитель, принимающий не менее 70 % пра-вильных решений. Пусть управляющий банком - хороший руководитель, принимающий правильное решение с постоянной вероятностью 0.75. Такому управляющему банком предстоит принять решения по четырем важным во-просам банковской политики. Случайная величина X - количество правиль-ных решений, принятых управляющим. Чему равна вероятность того, что управляющий примет менее трех правильных решений?

Вариант 4

В ходе аудиторской проверки строительной компании аудитор случайным образом отбирает пять счетов. Вероятность наличия ошибки в каждом счете - величина постоянная и равна 0.03. Случайная величина X - количество счетов с ошибкой. Какова вероятность того, что хотя бы один счет будет ошибкой?

Вариант 5

В банк поступило 30 авизо. Подозревают, что среди них три фальшивых. Тщательной проверке подвергаются пять случайно выбранных авизо. Случай-ная величина X - количество фальшивых авизо среди отобранных. Чему равна вероятность того, что в ходе проверки обнаружится менее двух фальшивок?

Вариант 6

Записи страховой компании показали, что 30 % держателей страховых полисов старше 50 лет потребовали возмещения страховых сумм. Для проверки в случайном порядке было отобрано пять человек старше 50 лет, имеющих полисы. Случайная величина X - количество потребующих возмещения среди отобранных. Чему равна вероятность того, что потребуют возмещения более трех человек?

Вариант 7

Билет для зачета содержит пять вопросов, к каждому из которых приве-дены четыре возможных ответа (правильный ответ только один). Предположим, что студент выбирает ответы среди предложенных наугад. Случайная величина X - количество правильных ответов, угаданных студентом. Какова вероятность того, что от ответит правильно не менее, чем на четыре вопроса?

Вариант 8

Для того, чтобы проверить точность своих финансовых счетов, компания регулярно пользуется услугами аудиторов. Предположим, что служащие ком-пании при обработке входящих счетов допускают 5 % ошибок. Аудитор слу-чайно отбирает три входящих документа. Случайная величина X - количество документов с ошибками среди отобранных. Какова вероятность того, что аудитор обнаружит более одного ошибочного документа среди отобранных?

Вариант 9

Телевизионный канал рекламирует новый вид детского питания. Вероят-ность того, что телезритель увидит эту рекламу, оценивается в 0.2. Случайным образом отобраны шесть телезрителей. Случайная величина X - количество лиц, видевших рекламу, среди отобранных. Чему равна вероятность того, что, по крайней мере, два телезрителя из отобранных видели рекламу нового дет-ского питания?

Вариант 10

Торговый агент контактирует с семью потенциальными покупателями в день. Из опыта ему известно: вероятность того, что потенциальный покупатель совершит покупку, равна 0.1. Случайная величина X - количество покупате-лей, совершивших покупку после встречи с торговым агентом. Чему равна вероятность того, что хотя бы два посетителя сделают покупки?

Задача 5. Тема: "Описательная статистика"
Для приведенных ниже выборочных данных выполнить следующую об-работку, пояснив полученные результаты:
а) найти выборочные значения среднего арифметического, моды, медианы;
б) найти размах выборки, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение; проверить выполнение правила "3сигма";
в) оценить симметричность распределения с помощью первого коэффи-циента Пирсона;
г) найти верхнюю и нижнюю выборочные квартили, пояснить их смысл;
д) построить сгруппированный статистический ряд и гистограмму;
е) найти модальный и медианный интервалы, сравнить середины этих интервалов со значениями моды и медианы, рассчитанными по выборке.
Для выполнения расчетов и построения гистограмм рекомендуются средства MathCad, Excel.

Вариант 1

Измерены диаметры 40 металлических шариков, мм:

8.53 8.59 8.51 8.59 8.41 8.46 8.57
8.62 8.45 8.51 8.46 8.55 8.61 8.68
8.52 8.43 8.40 8.41 8.54 8.47 8.53
8.55 8.43 8.47 8.59 8.63 8.56 8.42
8.58 8.60 8.52 8.56 8.56 8.60 8.54
8.61 8.45 8.54 8.57 8.68

Вариант 2

Измерена продолжительность работы 30 электрических лампочек, десят-ков часов:

51 56 69 31 56 49 51 53 74 51
63 48 53 51 64 50 59 84 55 82
55 72 70 54 51 77 98 62 73 55

Вариант 3

Измерена скорость автомобиля на некотором участке дороги, км/час:

41 41 29 15 41 43 42 34 41 30
23 48 50 36 35 46 28 46 50 41
55 27 43 53 48 47 34 35 29 42
30 35 38 41 36 38 45 59 44 43
Вариант 4

Основные фонды 30 предприятий, млн руб.:

4.2 2.4 4.9 6.7 4.5 2.7 3.9 2.1 5.8 4.0
2.8 7.3 4.4 6.6 2.0 6.2 7.0 8.1 0.7 6.8
9.4 7.6 6.3 8.8 6.5 1.4 4.6 2.0 7.2 9.1

Вариант 5

Измерены длины 40 графитовых стержней для цанговых карандашей, см:

6.61 6.45 6.54 6.57 6.68 6.58 6.60 6.52 6.56
6.60 6.54 6.55 6.43 6.47 6.59 6.63 6.56 6.42
6.56 6.52 6.43 6.40 6.41 6.54 6.47 6.53 6.62
6.45 6.51 6.46 6.55 6.61 6.68 6.53 6.59 6.51
6.59 6.41 6.46 6.57

Вариант 6

Измерена площадь, см2, 40 пластинок кремния, подготовленных для напыления тонких пленок:

5.54 5.42 5.53 6.68 5.57 5.46 5.61 5.47 5.56
5.60 5.68 5.56 5.63 5.54 5.55 5.41 5.59 5.46
5.41 5.59 5.56 5.57 5.54 5.52 5.47 5.40 5.51
5.51 5.59 5.45 6.43 5.43 5.60 5.45 5.61 5.58
5.55 5.52 5.62 5.53

Вариант 7

Измерена длина тормозного пути, м, 30 автомашин, проходящих техни-ческий осмотр:

4.2 2.4 4.9 6.7 4.5 2.7 3.9 2.1 5.8 4.0
2.8 7.3 4.4 6.6 2.0 6.2 7.0 8.1 0.7 6.8
9.4 7.6 6.3 8.8 6.5 1.4 4.6 2.0 7.2 9.1

Вариант 8

Приведены результаты взвешивания 30 металлических шариков:

45 72 41 64 45 63 52 74 43 41 49
88 67 40 39 46 54 41 44 41 21 59
43 60 62 38 46 45 53 41

Вариант 9

Измерены излишки общей площади в 40 квартирах, м2:

2.9 4.1 4.1 3.0 4.3 4.2 4.1 3.0 4.1 5.0
4.4 5.9 3.5 4.6 3.4 4.2 2.8 3.4 4.5 3.8
4.7 4.6 4.3 4.1 3.5 4.8 3.6 4.1 5.3 3.6
4.5 2.9 5.0 4.3 3.8 3.5 2.7 4.8 4.1 2.3

Вариант 10

Проведено суммарное число баллов за осенний семестр для каждого сту-дента:

41.5 42.3 47.4 51.2 52.3 43.9
49.1 46.6 41.7 57.5 52.3 45.7
48.0 49.3 57.4 44.4 51.0 49.8
43.8 50.6 49.6 40.9 50.8 51.8
39.6 48.1 43.2 50.8 48.0 56.9


8.2. Контрольная работа № 2

Контрольная работа № 2 содержит семь задач по темам 4, 5, 6, 7 разделов настоящего пособия. Номер варианта соответствует последней цифре номера зачетной книжки.

Задача 1. Тема: "Нормальное распределение"

Вариант 1

Дневная добыча угля в некоторой шахте распределена по нормальному закону с математическим ожиданием 785 т и стандартным отклонением 60 т. Найдите вероятность того, что в определенный день будут добыты, по крайней мере, 800 т угля. Определите долю рабочих дней, в которые будет добыто от 750 т до 850 т угля. Найдите вероятность того, что в данный день добыча угля окажется ниже 665 т.

Вариант 2

Вес тропического грейпфрута, выращенного в Краснодарском крае, нор-мально распределенная случайная величина с неизвестным математическим ожиданием и дисперсией, равной 0.04. Агрономы знают, что 65 % фруктов весят меньше, чем 0.5 кг. Найдите ожидаемый вес случайно выбранного грейпфрута.

Вариант 3

Предположим, что в течение года цена на акции некоторой компании есть случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 48 у.е., и стандартным отклонением, равным 6. Определите вероятность того, что в случайно выбранный день обсуждаемого периода цена была а) более 60 у.е. за акцию; б) ниже 60 за акцию; и) выше 40 за акцию; г) между 40 и 50 у.е. за акцию.

Вариант 4

Средний срок службы коробки передач до капитального ремонта у авто-мобиля определенной марки составляет 56 мес. со стандартным отклонением Привлекая покупателей, производитель хочет дать гарантию на этот узел, обещая сделать бесплатно любое число ремонтов коробки передач нового автомобиля в случае ее поломки до определенного срока. Пусть срок службы коробки передач подчиняется нормальному закону. На сколько меся-цев в таком случае производитель должен дать гарантию для этой детали, чтобы число бесплатных ремонтов не превышало 2.275 % проданных автомобилей?
Вариант 5

Еженедельный выпуск продукции на заводе приблизительно распределен по нормальному закону со средним значением, равным 134786 ед. продукции в неделю, и стандартным отклонением 13000 ед. Найдите вероятность того, что еженедельный выпуск продукции: а) превысит 150000 ед.; б) окажется ниже 100000 ед. в данную неделю; в) предположим, что возникли трудовые споры, и недельный выпуск продукции стал ниже 80000 ед. Менеджеры обвиняют профсоюз в беспрецедентном падении выпуска продукции, а профсоюз утвер-ждает, что выпуск продукции находится в пределах принятого уровня . Можно ли доверять профсоюзу?

Вариант 6

Процент протеина в пакете с сухим кормом для собак нормально распре-деленная случайная величина с математическим ожиданием 11.2 % и стан-дартным отклонением 0.6 %. Производителям корма необходимо, чтобы в 99 % продаваемого корма доля протеина составляла не меньше x %, но не более y %. Найдите x и y.

Вариант 7

Вес товаров, помещаемых в контейнер определенного размера, - нор-мально распределенная случайная величина. Известно, что 65 % контейнеров имеют чистый вес больше 4.9 т, а 25 % - имеют вес меньше, чем 4.2 т. Найдите ожидаемый средний вес и среднее квадратичное отклонение чистого веса кон-тейнера.

Вариант 8

Отклонение стрелки компаса из-за влияния магнитного поля в опреде-ленной области Заполярья есть случайная величина . Чему равна вероятность того, что абсолютная величина отклонения в определенный момент времени будет больше, чем 2.4?

Вариант 9

Технический отдел компании, производящей автопокрышки, планирует выпустить несколько партий покрышек и проверить степень их износа на те-стирующем оборудовании. С этой целью предполагается увеличивать количе-ство каучука в покрышках каждой последующей партии до тех пор, пока срок службы покрышек окажется приемлемым. Эксперимент показал, что стан-дартное отклонение срока службы покрышек фактически остается постоянным от партии к партии и составляет 2500 миль. Если компания хочет, чтобы 80 % выпускаемых покрышек имели срок службы не менее 2500 миль, то какой наименьший средний срок службы автопокрышек должен быть заложен в рас-четах технического отдела. Считать срок службы автопокрышек нормально распределенным.

Вариант 10

Менеджер торгово-посреднической фирмы получает жалобы от некоторых клиентов на то, что служащие фирмы затрачивают слишком много времени на выполнение их заказов. Собрав и проанализировав соответствующую информацию, он выяснил, что среднее время выполнения заказа составляет 6.6 дней, однако для выполнения 20 % заказов потребовалось 15 дней и более. Учитывая, что время выполнения заказа есть случайная величина, распреде-ленная по нормальному закону, определите фактическое стандартное отклоне-ние времени обслуживания клиентов.

Задача 2. Тема: "Критические точки" (работа с таблицами)

По заданной вероятности (и заданному числу степеней свободы k) найти критическую точку (квантиль ), пользуясь соответствующими таблицами (приложение 1-4):
а) стандартного нормального распределения;
б) распределения "хи-квадрат";
в) распределения Стьюдента;
г) распределения Фишера.
Нарисовать примерный вид графика плотности распределения, указать критическую точку, заштриховать площадь, соответствующую вероятности , записать пояснения к рисунку.

Вариант 1: а) ? = 0.94; б) ? = 0.95, k = 15; в) ? = 0.975, k = 27; г) ? = 0.95, .
Вариант 2: а) ? = 0.98; б) ? = 0.975, k = 12; в) ? = 0.99, k = 10; г) ? = 0.99, .
Вариант 3: а) ? = 0.96; б) ? = 0.99, k = 19; в) ? = 0.975, k = 9; г) ? = 0.95, .
Вариант 4: а) ? = 0.97; б) ? = 0.95, k = 6; в) ? = 0.95, k = 8; г) ? = 0.99, .
Вариант 5: а) ? = 0.95; б) ? = 0.99, k = 11; в) ? = 0.975, k = 14; г) ? = 0.95, .
Вариант 6: а) ? = 0.94; б) ? = 0.99, k = 16; в) ? = 0.975, k = 21; г) ? = 0.99, .
Вариант 7: а) ? = 0.98; б) ? = 0.975, k = 6; в) ? = 0.99, k = 8; г) ? = 0.95, .
Вариант 8: а) ? = 0.96; б) ? = 0.99, k = 8; в) ? = 0.975, k = 12; г) ? = 0.95, .
Вариант 9: а) ? = 0.97; б) ? = 0.95, k = 17; в) ? = 0.95, k = 9; г) ? = 0.99, .
Вариант 10: а) ? = 0.95; б) ? = 0.99, k = 6; в) ? = 0.975, k = 20; г) ? = 0.95, .

Задача 3. Тема: "Интервальные оценки"

Вариант 1

В целях изучения среднедушевого дохода семей города в 1995 г. была произведена 1 %-ая повторная выборка из 30 тыс. семей. По результатам об-следования среднедушевой доход семьи в месяц составил 200 тыс. руб. со средним квадратичным отклонением, равным 150 тыс. руб. С вероятностью 0.95 найдите доверительный интервал, в котором находится величина средне-душевого дохода всех семей города, считая среднедушевой доход случайной величиной, распределенной по нормальному закону.

Вариант 2

Для изучения различных демографических характеристик населения вы-борочно обследовалось 300 семей города. Оказалось, что среди обследованных семей 15 % состоят из двух человек. В каких пределах находится в генеральной совокупности доля семей, состоящих из двух человек, если принять дове-рительную вероятность равной 0.95?

Вариант 3

В 1995 г. выборочное обследование распределения населения города по среднедушевому доходу показало, что 40 % обследованных в выборке имеют среднедушевой доход не более 200 тыс. руб. В каких пределах находится доля населения, имеющего такой среднедушевой доход, во всей генеральной сово-купности, если объем генеральной совокупности составляет 1000000 единиц, выборка не превышает 10 % объема генеральной совокупности и осуществля-ется по методу случайного бесповторного отбора, а доверительная вероятность равна 0.954?

Вариант 4

С помощью случайной выборки оценивается среднее время ежедневного просмотра телепередач абонентами кабельного телевидения в период с 18 до 22 ч. Каким должен быть объем выборки в этом случае, если в предыдущих выборочных обследованиях стандартное отклонение времени просмотра передач составило 40 мин., а отклонение выборочной средней от генеральной средней по абсолютной величине не должно превышать 5 мин. с вероятностью 0.99?
Вариант 5

Аудиторская фирма хочет проконтролировать состояние счетов одного из коммерческих банков. Для этого случайно отбираются 50 счетов. По 20 счетам из 50 отобранных имело место движение денежных средств в течение месяца. Постройте 99 %-ый доверительный интервал, оценивающий долю счетов в генеральной совокупности, по которым имело место движение денежных средств в течение месяца.

Вариант 6

Менеджер компании, занимающейся прокатом автомобилей, хочет оце-нить среднюю величину пробега одного автомобиля в течение месяца. Из 280 автомобилей, принадлежащих компании, методом случайной бесповторной выборки отобрано 30. По данным этой выборки установлено, что средний про-бег автомобиля в течение месяца составляет 1342 км со стандартным отклоне-нием 227 км. Считая пробег автомобиля случайной величиной, распределенной по нормальному закону, найдите 95 %-ый доверительный интервал, оце-нивающий средний пробег автомобилей всего парка в течение месяца.

Вариант 7

Среднемесячный бюджет студентов в колледжах одного из штатов США оценивается по случайной выборке. С вероятностью 0.954 найдите наименьший объем выборки, необходимый для такой оценки, если среднее квадратичное отклонение предполагается равным 100 у.е., а предельная ошибка средней не должна превышать 20 у.е.

Вариант 8

Коммерческий банк, изучая возможности предоставления долгосрочных кредитов населения, опрашивает своих клиентов для определения среднего размера такого кредита. Из 9706 клиентов банка опрошено 1000 человек. Среднее значение необходимого клиенту кредита в выборке составило 6750 у.е. со стандартным отклонением 1460 у.е. Найдите границы 95 %-ого довери-тельного интервала для оценки неизвестного среднего значения кредита в ге-неральной совокупности.
Вариант 9

При выборочном опросе 1200 телезрителей оказалось, что 456 из них ре-гулярно смотрят программы телевидения НТВ. Постройте 99 %-ый довери-тельный интервал, оценивающий доля всех телезрителей, предпочитающих программы телеканала НТВ.

Вариант 10

Для изучения размера среднемесячной заработной платы занятого насе-ления региона производится случайная повторная выборка. Каким должен быть объем этой выборки, чтобы с доверительной вероятностью 0.997 можно было утверждать, что среднемесячная заработная плата в выборке отличается от среднемесячной заработной платы работников во всем регионе по абсолютной величине не более, чем на 25 %, если среднемесячная зарплата в выборке составила 220 у.е. со средним квадратическим отклонением 120 у.е.

Задача 4. Тема: "Проверка статистических гипотез"

Вариант 1

Компания, производящая средства для потери веса, утверждает, что прием таблеток в сочетании со специальной диетой позволяет сбросить в среднем 400 г веса. Случайным образом отобраны 25 человек, использующих эту терапию, и обнаружено, что в среднем еженедельная потеря в весе составила 430 г со с.к.о. 110 г. Проверьте гипотезу о том, что средняя потеря в весе составляет 400 г. Уровень значимости ? = 0.05.

Вариант 2

Поступление страховых полисов в 130 филиалах страховых компаний в регионе А составило 26·104 у.е, в регионе В на 100 филиалов пришлось 18·104 у.е. Дисперсия величины страховых взносов в регионе А равна 39·108 (у.е.)2, в регионе В - 25·108 (у.е)2. На уровне значимости ? = 0.05 определите, суще-ственно ли различается средняя величина поступления страховых взносов в регионах А и В из расчета на один филиал.

Вариант 3

Компания утверждает, что новый вид зубной пасты для детей лучше предохраняет зубы от кариеса, чем зубные пасты, производимые другими фирмами. Для проверки была отобрана случайным образом группа из 400 детей, которые пользовались новым видом зубной пасты. Другая группа из 300 детей, также случайно выбранных, в это же время пользовалась другими видами зуб-ной пасты. Было выявлено, что у 30 детей, использующих новую пасту, и 25 детей из контрольной группы появились новые признаки кариеса. Имеются ли у компании достаточные основания для утверждения о том, что новый сорт зубной пасты эффективнее предотвращает кариес, чем другие виды зубной пасты?

Вариант 4

Компания по производству безалкогольных напитков предполагает вы-пустить на рынок новую модификацию популярного напитка, в котором сахар заменен сукразитом. Компания хотела бы быть уверенной в том, что не менее 70 % ее потребителей предпочтут новую модификацию напитка. Новый напиток был предложен на пробу 2000 человек, и 1422 из них сказали, что он вкуснее старого. Может ли компания отклонить предложение о том, что только 70 % всех ее потребителей предпочтут новую модификацию напитка старой? Уровень значимости 0.05.
Вариант 5

В 1995 г. доля предприятий государственной фирмы собственности в од-ной из областей Российской Федерации составила 2.3 % от общего числа про-мышленных предприятий. Среди 2236 машиностроительных и металлообраба-тывающих предприятий она оказалась равной 2.1 %. На уровне значимости ? = 0.01 определите, существенно ли меньше удельный вес государственных предприятий в машиностроении и металлообработке, чем в целом в промыш-ленности области?

Вариант 6

В 1996 г. годовой оборот четырех бирж в регионе А составил 12·104 у.е.; в регионе В годовой оборот пяти бирж - 125·103 у.е. Исправленная выборочная дисперсия оборота в регионе А оказалась равной 3·104 (у.е.)2, в регионе В - 2·104 (у.е.)2. Можно ли на уровне значимости ? = 0.05 утверждать, что средний оборот бирж в регионе А больше, чем в регионе В?

Вариант 7

Инженер по контролю качества проверяет среднее время горения нового вида электроламп. Для проверки случайным образом было отобрано 100 ламп, среднее время горения которых составило 1075 часов. Предположим, что среднее квадратичное отклонение времени горения для генеральной совокуп-ности известно и составляет 100 часов. На уровне значимости ? = 0.05 про-верьте гипотезу о том, что среднее время горения ламп более 1000 часов.
Предположим, что инженер по контролю качества не имеет информации о генеральной дисперсии и использует выборочное среднеквадратичное от-клонение. Изменится ли ответ?

Вариант 8

Производитель некоторого вида продукции утверждает, что 95 % выпус-каемой продукции не имеют дефектов. Случайная выборка 100 изделий пока-зала, что только 92 из них свободны от дефектов. Проверьте справедливость утверждения производителя продукции на уровне значимости ? = 0.05.

Вариант 9

Крупный коммерческий банк заказал маркетинговое исследование по выявлению эффекта "премирования" (калькулятор, набор ручек и др.) как стимула для открытия счета в банке. Для проверки случайным образом было отобрано 200 "премированных" посетителей и 200 "непремированных". В результате выяснилось, что 79 % посетителей, которым не предлагалась премия, и 89 % посетителей, которым премия предлагалась, открыли счет в банке в течение 6 мес. Используя эти данные, проверьте гипотезу о том, что доля "премированных" посетителей, открывших счет в банке, существенно отлича-ется от удельного веса "непремированных", открывших счет. Уровень значи-мости ? = 0.05.

Вариант 10

Доля убыточных предприятий в промышленности в целом по России в 1995 г. составила 26 %, а в одной из областей - 27 %. В 1995 г. в этой области насчитывалось 7579 промышленных предприятий. На уровне значимости ? = 0.05 определите, являются ли различия в удельном весе убыточных про-мышленных предприятий в России и в этой области случайными или в данной области действует комплекс экономических условий, обусловливающих по-вышенную долю нерентабельных предприятий?