Спецкурс-2 (Синергетика для программистов)

Синергетика для программистов

В процессе дистанционного обучения дисциплине «Спецкурс 2 (синергетика для программистов)» студент должен выполнить два контрольных задания; обучение заканчивается выполнением компьютерной экзаменационной работы. Контрольные задания представлены ниже.
Выполненные контрольные задания пересылаются по электронной почте диспетчеру центра дистанционного обучения, который в свою очередь пересылает их лектору. Лектор проверяет работы, и при правильном выполнении студент получает подтверждение о том, что они зачтены. Если работа выполнена неправильно, то студент получает от лектора текстовый файл, в котором содержится описание ошибок.

Язык программирования может быть любым, но программа должна работать в графическом (а не в текстовом) режиме. Программы высылаются в виде exe-файлов. С каждой программой должно быть прислано описание, как ею пользоваться.

Контрольная работа №1

Результат выполнения - программа с комментариями + листинг и результаты работы программы в формате MS-Word


Вариант 1. Возьмем последовательность чисел Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, 8,... (очередной член этой последовательности определяется как сумма двух предыдущих). Рассмотрим далее последовательность цифр, стоящих в разряде единиц у чисел Фибоначчи. Будет ли эта последовательность периодической?

В следующих вариантах задач множество X = {0, 1, 2, 3, ..., N¬?1} и f: X ? X удовлетворяет закону f(x) = g(x) (mod N), т.е. значения отображения вычисляются с точностью до остатка при делении на N. Рассматривая (X, f) как одномерную дискретную динамическую систему, определить аттракторы и их бассейны для следующих частных случаев.


Вариант 2. N = 17, g(x) = x2 + 1.
Вариант 3. N = 37, g(x) = x2 + 1.
Вариант 4. N = 221, g(x) = x2 + 1.
Вариант 5. N = 28, g(x) = x3 + 2x2 + 3x + 2.
В следующих вариантах задач множество X = {0, 1, 2, 3, ..., N¬?1} и f: X ? X удовлетворяет закону f(x) = g(x) (mod N), где g ¬? функция Улама, которая определяется так:
g(x) =x/2, если x четно,
g(x) = 3x + 1, если x нечетно.
Рассматривая (X, f) как одномерную дискретную динамическую систему, определить аттракторы и их бас-сейны для следующих частных случаев.
Вариант 6. N =20.
Вариант 7. N = 40.
Вариант 8. N = 47.
Вариант 9. Чему равно слово на выходе следующей L-системы после двух итераций:
аксиома = F;
продукция F ? FF¬?[F]+[F];
? = ?/4, ? = ?/2.
Изобразите найденное слово графически.
Вариант 10. Определить фрактальную размерность (размерность подобия) модифицированного множества Кантора, в котором на каждом шаге выбрасывается центральная пятая часть каждого интервала.
Вариант 11. Определить фрактальную размерность (размерность подобия) фрактала, состоящего из таких точек отрезка [0, 1], в десятичном представлении которых x =0,x1x2x3... отсутствуют цифры 3 и 7.
Вариант 12. Определить фрактальную размерность (размерность подобия) фрактала на плоскости, состоящего из точек (x, y), где x, y ? [0, 1], причем в десятичном представлении чисел x = 0,x1x2x3... и y = 0,y1y2y3... отсутст-вуют цифры 3 и 7.
Вариант 13. Найти расстояние Хаусдорфа h(A, B) между A = {(x, x) | ¬?1 ? x ? 1} и B = {(x, 0) | ¬?1 ? x ? 1}.

В следующих вариантах пусть C1, C2, C3, ... ? аппроксимирующие множества классического множества Кантора C (см. рис. 2.41).
Вариант 14. Найти расстояние Хаусдорфа h(С1, С).
Вариант 15. Найти расстояние Хаусдорфа h(С2, С).
Вариант 16. Найти расстояние Хаусдорфа h(Сn, С), n = 2, 3, ... .

Приведем пример решения задачи, подобной задачам из вариантов 2–8.
Пусть X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, f(x) = x2 + x + 1.
Имеем следующие траектории:
0 ? 1 ? 3 ? 3 ? …
2 ? 7 ? 7 ? …
4 ? 1 ? 3 ? 3 ? …
5 ? 1 ? 3 ? 3 ? …
6 ? 3 ? 3 ? …
8 ? 3 ? 3 ? …
9 ? 1 ? 3 ? 3 ? …

Таким образом, получаем следующий фазовый портрет динамической системы (X, f):

Имеются два аттрактора: неподвижные точки 3 и 7. Их бассейны ? соответственно множества {0, 1, 3, 4, 5, 6, 8, 9} и {2, 7}.
В данном случае аттракторы – только неподвижные точки. В других случаях могут быть и циклы.


Контрольная работа №2

В этой контрольной вы должны написать программу. Язык программирования может быть любым, но программа должна работать в графическом (а не в текстовом) режиме. Программы высылаются в виде exe-файлов. С каждой программой должно быть прислано описание, как ею пользоваться.

Вариант 1. Рассмотрим двухмерный клеточный автомат, в котором каждая клетка имеет 8 соседей. Клетка представляет одну особь в популяции и может быть «здоровой», «больной» или «здоровой с иммунитетом». Предполагаются следующие правила распространения эпи-демий:
здоровый организм может с некоторой вероятностью заболеть при больном соседе;
больной организм по истечении некоторого времени вы-здоравливает и приобретает иммунитет;
организм с иммунитетом заболеть не может;
иммунитет с течением времени с некоторой вероятностью ослабляется вплоть до полного исчезновения.
В исходную полностью здоровую популяцию помещается один больной организм. Будем изучать распространение болезни при таких начальных условиях.
Состояние клетки задается целым числом s. Предлагается следующая интерпретация значения s:
s = 0 ¬? здоровый организм, не имеет иммунитета;
s < 0 ¬? организм здоровый и имеет иммунитет (степень иммунитета прямо пропорциональна абсолютному значению s);
s > 0 ¬? больной организм (величина s указывает продолжительность болезни).
Пусть болезнь определяется следующими параметрами: p ¬? вероятность заболеть при больном соседе; q ¬? вероятность ослабления иммунитета за единицу времени; ti ¬? длительность болезни (у всех организмов болезнь продолжается одинаковое время); tv ¬? длительность иммунитета в единицах времени.
Законы изменения состояния:
1) s = 0 ? s := 0 ¬? если нет больных соседей (здоровый организм остается здоровым при здоровых соседях);
2) s = 0 ? s := 1 с вероятностью p ¬? если есть больной сосед (здоровый организм без иммунитета может заболеть при больном соседе);
3) 0 < s < ti ? s := s+1 ¬? больной продолжает болеть определенное время;
4) s = ti ? s := ¬?tv ¬? если больной достаточно долго проболел, то он выздоравливает и приобретает иммунитет;
5) s < 0 ? s := s+1 с вероятностью q ¬? иммунитет со временем может ослабнуть.
Будем предполагать, что популяция является замкнутой, но неограниченной системой. Устраним границы поля: соединим любые два противоположных края поля, затем концы полученного цилиндра. Тем самым мы рассматриваем исходное поле как тор. Определим начальную конфигурацию ¬? все клетки «здоровы», за исключением цен-тральной «больной» клетки.
Напишите программу, моделирующую поведение данного клеточного автомата. Программа должна позволять пользователю менять параметры: p ¬? вероятность заболеть при больном соседе; q ¬? вероятность ослабления иммунитета за единицу времени; ti ¬? длительность болезни; tv ¬? длительность иммунитета в единицах времени.

Вариант 2. Напишите программу, строящую диаграмму Ламерея для произвольного квадратичного отображения f: R ? R.

Вариант 3. Напишите программу построения бифуркационных диаграмм для отображения y=?x(1-x) при фиксированном 0 < ? ? 4.

Вариант 4. Напишите программу для построения множества Жюлиа для данного параметра c.

Вариант 5. Напишите программу для построения множества Мандельброта.

Вариант 6. Создайте с помощью клеточного автомата модель изменения растительности в лесу при пожарах.
Двумерная решетка представляет клетки с различными видами растительности. Состояние одной клетки описывается в виде пары (s, t). Величина t ? время, прошедшее с тех пор, как на этой клетке был огонь, или, если огня никогда не было, время с момента запуска кле-точного автомата. Значение s есть один из следующих символов: e ¬? «огонь», b ¬? «выгоревшая земля», g ¬? «трава», w ¬? «редкий лес», f ¬? «густой лес». Начальное состояние: t = 0 для всех клеток; все клетки, за исключением цен-тральной, на которой огонь, получают случайно одно из значений g, w, f.
Правила перехода:
(s, t) ? (e,0), если горит соседняя клетка, и s ? не выжженная земля (переход совершается с некоторой вероятностью, заданной как параметр);
иначе
(e, 0) ? (b, 1),
(b, 4) ? (g, 5),
(g, 9) ? (w, 10),
(w, 49) ? (f, 50);
иначе
(s, t) ? (s, t + 1).

Вариант 7. Напишите программу для реализации игры «Жизнь».

Вариант 8. Напишите программу для построения одномерных клеточных автоматов.

Вариант 9. Напишите программу для двумерного клеточного автомата, моделирующего процесс диффузии (раздел 4.4).

Вариант 10. Напишите программу для двумерного клеточного автомата, моделирующего процесс ограниченного диффузией агрегирования (раздел 4.4).

----
В заданиях могут быть формулы и рисунки. Лучше смотреть оригинальную методичку