Математические основы теории систем

Учебная программа по курсу "Математические основы теории систем" предусматривает выполнение студентом в процессе обучения четырех контрольных работ и четырех лабораторных работ.

3.1. Контрольная работа № 1

Необходимо представить письменные ответы на 10 контрольных вопросов. Контрольные вопросы предлагаются студенту из следующих двух групп.

Контрольные вопросы 1-ой группы
1. Основные свойства систем.
2. Модели и моделирование. Основания классификации.
3. Классификация абстрактных моделей.
4. Классификация материальных моделей.
5. Различия между моделью и оригиналом.
6. Сходство между моделью и оригиналом.
7. Модель "черного ящика". Приведите пример, когда эта модель единственно возможна.
8. Модель состава системы. Приведите пример:
а) моделей, имеющих одинаковый элементный состав, но различающихся делением на подсистемы;
б) моделей, имеющих одинаковые подсистемы, но различающиеся элементным составом.
9. Второе определение системы.
10. Динамическая модель "черного ящика". Приведите пример.
11. Динамический вариант модели состава. Приведите пример.
12. Динамический вариант структурной схемы.
13. Понятие состояния системы и переменных состояния системы.
14. Классификация математических моделей систем.
15. Условия физической реализуемости математических моделей.
16. Основания классификации систем.
17. Классификация систем по происхождению.
18. Классификация систем по типам переменных (входных, выходных и состояния).
19. Классификация систем по способам управления.
20. Виды систем в соответствии с ресурсным обеспечением. Приведите пример системы:
а) малой и сложной;
б) большой и простой;
в) большой и сложной.
Контрольные вопросы 2-ой группы
1. Алфавитное и автоматное отображение. Их различие.
2. Понятие конечного автомата.
3. Способы задания автоматов.
4. Виды автоматов.
5. Интерпретация автомата второго рода автоматом первого рода.
6. Асинхронные автоматы.
7. Понятие изоморфизма и эквивалентности автоматов.
8. Задание функций перехода и выхода для частичных автоматов.
9. Понятие покрытия и совместимости состояний автоматов.
10. Минимизация частичных автоматов.
11. Представление событий автоматами.
12. Построение автоматного отображения по произвольному алфавитному отображению.
13. Регулярные операции над событиями и их свойства.
14. Понятие регулярного события.
15. Связь регулярных событий и автоматов.
16. Понятие источника.
17. Правила построения источника по регулярному событию.
18. Основные этапы алгоритма синтеза автомата на абстрактном уровне.
19. Понятие индексного остатка источника.
20. Основные этапы графического алгоритма анализа автомата на абстрактном уровне.

Из каждой группы студенту предлагается по 5 вопросов.

3.2. Контрольная работа № 2

Необходимо ответить на следующие десять вопросов.
1. Перечислите операции над автоматными отображениями.
2. Понятие вероятностного автомата. Как задать вероятностный автомат?
3. Что такое комбинационный автомат?
4. Что необходимо для структурного синтеза автомата?
5. Что входит в состав элементного базиса?
6. Понятие правильной синхронной сети.
7. Канонические уравнения сети.
8. Проблемы кодирования состояний в асинхронных автоматах.
9. Какая из программ, предназначенных для реализации комбинационного автомата, лучше - бинарная или операторная?
10. Какие недостатки и преимущества у канонического метода синтеза автоматов по сравнению с декомпозиционным методом синтеза?


3.3. Контрольная работа № 3

Необходимо письменно ответить на следующие вопросы.
1. В каких случаях возможна линеаризация нелинейных уравнений?
2. В чем различия и что общего между исходным нелинейным уравнением и линеаризованным?
3. Как записывается общее решение однородного линейного дифференциального уравнения в случае некратных и кратных корней характеристического уравнения?
4. К каким вынуждающим функциям применим метод неопределенных коэффициентов при решении неоднородных дифференциальных уравнений?
5. В чем состоит необходимое и достаточное условие линейной независимости n решений однородного линейного дифференциального уравнения n-го порядка?
6. К каким функциям не применимо преобразование Фурье?
7. Как получить из преобразования Лапласа преобразование Фурье?
8. Что такое передаточная функция системы?
9. Как связаны оператор сдвига E и разностный оператор ?
10. В какой форме записывается общее решение однородного разностного уравнения в случае некратных и кратных корней характеристического уравнения?
11. Что такое факториальный многочлен?
12. Как связаны дискретное преобразование Лапласа и z-преобразование?
13. Что такое импульсная передаточная функция системы?
14. Какие методы существуют для нахождения обратного z-преобразования?

3.4. Контрольная работа № 4

Необходимо письменно ответить на следующие вопросы.
1. Чем отличается минор от алгебраического дополнения?
2. Что такое дефект матрицы и как он связан с рангом?
3. Что такое след матрицы?
4. В чем заключается процедура ортогонализации Грама-Шмидта?
5. Что такое собственные числа и собственные векторы квадратной матрицы А?
6. Как строится модальная матрица, соответствующая матрице А?
7. Что такое эквивалентные матрицы?
8. В чем заключается необходимое и достаточное условие положительной определенности квадратичных форм?
9. Сформулируйте теорему Кэли-Гамильтона?
10. Что такое матрицант и как он вычисляется?


4. ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ

4.1. Лабораторная работа № 1

Цель лабораторной работы освоить основные понятия теории автоматов и основные методы анализа и синтеза конечных автоматов на абстрактном уровне.
Автоматы в лабораторной работе заданы автоматной таблицей, в которой строки представляют собой состояния, а столбцы - буквы входного алфавита: на пересечении i-ой строки и j-го столбца стоит номер состояния, в которое переходит автомат из i-го состояния по j-ой входной букве, и через запятую - буква выходного алфавита, появляющаяся при этом на выходе автомата (для автоматов Мили). В таком же виде следует представлять и результаты заданий (где это необходимо).

Задание
1. Разложить заданный автомат А на автономные:
а) по входным буквам ;
б) по выходным буквам
2. По автомату Мили построить эквивалентный ему автомат Мура, ис-пользуя теорему 4.2.2 [1].
3. По автомату Мура построить эквивалентный ему автомат Мили.
4. Найти автоматные отображения слов для заданного автомата, предполагая, что:
а) функция выхода обычная (автомат 1-го рода);
б) функция выхода сдвинутая (автомат 2-го рода).
5. Минимизировать автомат, используя алгоритм Мили.
6. Написать формулу в алгебре Клини, задающую событие в алфавите {a, b, c}.
7. Синтезировать автомат (на абстрактном уровне), представляющий регулярное событие.
8. Провести анализ автомата (написать выражение регулярного события, представляемого автоматом). Начальное состояние - 1, заключительное - 4.
Исходные данные приведены в приложении 2.

4.2. Лабораторная работа № 2

Цель лабораторной работы - потренироваться в применении операций над автоматами и освоить некоторые методы анализа и синтеза конечных автоматов на структурном уровне.
Автоматы заданы своими автоматными таблицами, и в таком же виде следует представлять результаты выполненных заданий.
Для лучшей обозримости результатов и краткости записи желательно переобозначать векторные произведения множеств состояний, входных и выходных алфавитов какой-либо одной латинской буквой. Например, если заданы множества состояний Q = {q1, q2} и W = {w1, w2}, то множество, равное их векторному произведению, будет:
Q W = {(q1, w1), (q1, w2), (q2, w1), (q2, w2)},
или после переобозначения:
Q W = H = {h1, h2, h3, h4},
то есть элемент (q1, w1) обозначен как h1, (q1, w2) как h2 и т.д.

Задание
1. Заданы автоматы А и В. Найти их объединение и пересечение.
2. Заданы автоматы А и В. Найти автомат С = А В, равный их произведению.
3. Заданы автоматы А и В. Найти автомат С = А В, равный их произведению.
4. Заданы автоматы А и В. Найти их сумму А + В.
5. Заданы автоматы А и В. Найти их суперпозицию А В.
6. Вероятностные автоматы без выходов А = (X, Q, q1 Q, P) и B = (Y, V, v1 V, S), X = {x1, x2}, где Q = {q1, q2}, Р , Y = {y1, y2}, V = {v1, v2}, S , заданы своими стохастическими матрицами P и S. Найти вероятностные автоматы, равные их произведению и сумме.
7. В заданном базисе синтезировать комбинационный автомат, реализующий булеву формулу F. Результат представить в виде структурной схемы.
8. Написать бинарную программу, реализующую комбинационный автомат, вычисляющий формулу F для задания № 7. Результат представить в виде графа программы.
Варианты исходных данных к лабораторной работе № 2 приведены в приложении 3.

4.3. Лабораторная работа № 3

Цель лабораторной работы освоить и закрепить на практике методы решения обыкновенных дифференциальных и разностных уравнений.

Задание
1. Дано нелинейное дифференциальное уравнение. Необходимо:
а) линеаризовать уравнение вблизи точки статического режима путем разложения в ряд Тейлора;
б) решить линеаризованное уравнение при нулевых начальных условиях;
в) по линеаризованному уравнению записать передаточную функцию.
2. Используя свойства преобразования Лапласа и приложение 1, найти изображение по Лапласу для заданной функции.
3. Дано уравнение в прямых разностях. Необходимо:
а) перейти от уравнения, использующего прямые разности, к уравнению с применением оператора сдвига;
б) решить это уравнение при нулевых начальных условиях;
в) записать импульсную передаточную функцию;
г) решить разностное уравнение с применением z-преобразования.
4. Используя свойства z-преобразования и приложение 1, найти z-изображение заданной функции.
Варианты исходных данных к лабораторной работе № 3 приведены в приложении 4.

4.4. Лабораторная работа № 4

Цель лабораторной работы освоить на практике методы решения уравнений состояния.
Уравнения состояния заданы в виде:
,
y(t) = C x(t),
где x(t) - вектор - столбец переменных состояний;
u(t) - скалярное входное воздействие (вынуждающая функция);
y(t) - скалярный выход системы;
А - основная матрица системы;
В - матрица-столбец связи вынуждающей функции (входа) с переменными состояния;
С - матрица-строка связи переменных состояния с выходом системы.

Задание
1. Найти собственные числа и модальную матрицу, соответствующую матрице А.
2. С помощью метода Кэли-Гамильтона найти переходную матрицу, соответствующую заданной матрице А.
3. Определить переходную матрицу, используя теорему разложения Сильвестра.
4. Вычислить переходную матрицу с применением преобразования Лапласа.
5. Решить уравнение состояния, то есть найти вектор состояния x(t) и выход системы y(t) по полученной переходной матрице, заданному входному воздействию u(t) и вектору начального состояния x(0).
Варианты исходных данных к лабораторной работе № 4 приведены в приложении 5.